La differenza è che il lento lo fai seduto su panca leggermente inclinata mentre il mp lo fai in piedi.
Il military press, non so se è vero, si chiama così perchè i soldati si allenavano alzandosi l'un l'altro

Nella sostanza non cambia molto, nella teoria il mp fa lavorare anche i muscoli stabilizzatori mentre il lento essendo seduto ti puoi concentrare di più sul movimento se alzi carichi importanti... quindi alla fine fai quello che ti piace di più